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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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6. Sea $f(x)=\frac{x}{5 x^{2}+a}$. Hallar $a \in \mathbb{R}$ para que la recta tangente al grafico de $f$ en el punto de abscisa $x_{0}=-1$ sea horizontal.

Respuesta

Nuevamente tenemos el segundo tipo de ejercicio sobre recta tangente que te conté que te pueden tomar: Hallar una incógnita distinta de $x$. Si no te acordás de ésto andá a ver los videos de recta tangente.  ¡Bueno, empecemos! Para que la recta tangente al gráfico de la función $f(x) = \frac{x}{5x^2 + a}$ en el punto de abscisa $x_0 = -1$ sea horizontal, la pendiente de la recta tangente debe ser cero. La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado es igual a la derivada de la función en ese punto.
Entonces primero calculemos la derivada de $f(x)$:


$ f'(x) = \frac{(1)(5x^2 + a) - (x)(10x)}{(5x^2 + a)^2} $

$ f'(x) = \frac{5x^2 + a - 10x^2}{(5x^2 + a)^2} $

$ f'(x) = \frac{-5x^2 + a}{(5x^2 + a)^2} $


Ahora, necesitamos que la derivada sea cero cuando $x = x_0 = -1$:

$ f'(-1) = \frac{-5(-1)^2 + a}{(5(-1)^2 + a)^2} = 0 $


$ \frac{-5 . 1 + a}{(5 . 1 + a)^2} = 0 $

$ \frac{-5 + a}{(5 + a)^2} = 0 $


Para que el numerador de una fracción sea cero (mientras el denominador no sea cero porque NUNCA UN DENOMINADOR PUEDE SER CERO), solo puede ocurrir que el numerador sea igual a cero. Por lo tanto, establecemos el numerador igual a cero para encontrar el valor de $a$:

$ -5 + a = 0 $

$ a = 5 $
Entonces, $a$ debe ser igual a $5$ para que la recta tangente al gráfico de $f$ en el punto de abscisa $x_0 = -1$ sea horizontal.
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Mallo
27 de octubre 15:50
hola profe, hay algo que no entiendo, cuando igualamos a 0 y despejamos a que pasa con el denominador ? no entendi esa parte 
0 Responder
Julieta
PROFE
31 de octubre 12:14
@Mallo Podés pensar que el denominador pasa del otro lado del = multiplicando al cero y que por eso se hace cero. O bien, recordar que un denominador nunca puede ser cero, así que la única opción posible para que una división de cero es que su numerador sea cero.
0 Responder
Oriana
29 de junio 18:22
Hola profe, no entiendo porque el ultimo 10x a la 2 que queda restando desaparece en el ultimo paso
0 Responder
Julieta
PROFE
10 de julio 16:28
@Oriana Ori, es porque haces la cuenta en el numerador, tenés dos términos con $x^2$. Entonces tenés $5x^2-10x^2$ y eso te da $-5x^2$
0 Responder
Zoe
27 de junio 17:18
pero 5 al cuadrado da 25 en el denominador, me queda en -1/5 si lo simplifico... "-5/25" o ignoramos la cuenta y directamente me centro en hacer el numerador -5 + a = a = 5 = -5 + 5 = 0 ?
0 Responder
Julieta
PROFE
10 de julio 16:27
@Zoe Hola Zoe, ay no entiendo a qué parte te referís. 
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