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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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6. Sea f(x)=x5x2+af(x)=\frac{x}{5 x^{2}+a}. Hallar a∈Ra \in \mathbb{R} para que la recta tangente al grafico de ff en el punto de abscisa x0=−1x_{0}=-1 sea horizontal.

Respuesta

Nuevamente tenemos el segundo tipo de ejercicio sobre recta tangente que te conté que te pueden tomar: Hallar una incógnita distinta de xx. Si no te acordás de ésto andá a ver los videos de recta tangente.  ¡Bueno, empecemos! Para que la recta tangente al gráfico de la función f(x)=x5x2+af(x) = \frac{x}{5x^2 + a} en el punto de abscisa x0=−1x_0 = -1 sea horizontal, la pendiente de la recta tangente debe ser cero. La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado es igual a la derivada de la función en ese punto.
Entonces primero calculemos la derivada de f(x)f(x):


f′(x)=(1)(5x2+a)−(x)(10x)(5x2+a)2 f'(x) = \frac{(1)(5x^2 + a) - (x)(10x)}{(5x^2 + a)^2}

f′(x)=5x2+a−10x2(5x2+a)2 f'(x) = \frac{5x^2 + a - 10x^2}{(5x^2 + a)^2}

f′(x)=−5x2+a(5x2+a)2 f'(x) = \frac{-5x^2 + a}{(5x^2 + a)^2}


Ahora, necesitamos que la derivada sea cero cuando x=x0=−1x = x_0 = -1:

f′(−1)=−5(−1)2+a(5(−1)2+a)2=0 f'(-1) = \frac{-5(-1)^2 + a}{(5(-1)^2 + a)^2} = 0


−5.1+a(5.1+a)2=0 \frac{-5 . 1 + a}{(5 . 1 + a)^2} = 0

−5+a(5+a)2=0 \frac{-5 + a}{(5 + a)^2} = 0


Para que el numerador de una fracción sea cero (mientras el denominador no sea cero porque NUNCA UN DENOMINADOR PUEDE SER CERO), solo puede ocurrir que el numerador sea igual a cero. Por lo tanto, establecemos el numerador igual a cero para encontrar el valor de aa:

−5+a=0 -5 + a = 0

a=5 a = 5
Entonces, aa debe ser igual a 55 para que la recta tangente al gráfico de ff en el punto de abscisa x0=−1x_0 = -1 sea horizontal.
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Mallo
27 de octubre 15:50
hola profe, hay algo que no entiendo, cuando igualamos a 0 y despejamos a que pasa con el denominador ? no entendi esa parte 
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Julieta
PROFE
31 de octubre 12:14
@Mallo Podés pensar que el denominador pasa del otro lado del = multiplicando al cero y que por eso se hace cero. O bien, recordar que un denominador nunca puede ser cero, así que la única opción posible para que una división de cero es que su numerador sea cero.
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Oriana
29 de junio 18:22
Hola profe, no entiendo porque el ultimo 10x a la 2 que queda restando desaparece en el ultimo paso
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Julieta
PROFE
10 de julio 16:28
@Oriana Ori, es porque haces la cuenta en el numerador, tenés dos términos con x2x^2. Entonces tenés 5x2−10x25x^2-10x^2 y eso te da −5x2-5x^2
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Zoe
27 de junio 17:18
pero 5 al cuadrado da 25 en el denominador, me queda en -1/5 si lo simplifico... "-5/25" o ignoramos la cuenta y directamente me centro en hacer el numerador -5 + a = a = 5 = -5 + 5 = 0 ?
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Julieta
PROFE
10 de julio 16:27
@Zoe Hola Zoe, ay no entiendo a qué parte te referís. 
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